Método de Gauss – Jordan
El método de Gauss – Jordan consiste en transformar la matriz aumentada del sistema en una matriz diagonal usando únicamente operaciones elementales, proceso relativamente simple, ya que podemos elegir arbitrariamente la operación elemental más conveniente, así como los escalares más adecuados que se utilizarán como factores. Así el sistema:
Tiene matriz aumentada
La cual podemos llevar a una forma escalonada por medio de operaciones elementales de fila
Existen tres operaciones y estas son:
Operaciones elementales en Filas:
i) Multiplicar (o dividir) una Fila por un número diferente de cero.
ii) Sumar un múltiplo de una Fila a otro renglón.
iii) Intercambiar dos Filas.
El proceso de aplicar las operaciones elementales por renglones para simplificar una matriz aumentada se llama reducción por renglones.
Notación:
1. Ri → cRi quiere decir “reemplaza la i-ésima Fila por esa misma Fila multiplicado por c”. [Para multiplicar la i-ésima Fila por c se multiplica cada número en la i-ésima Fila por c.]
2. Rj → Rj + cRi significa sustituye el j-ésima Fila por la suma de la Fila j más la Fila i multiplicado por c.
3. Ri ⇄ Rj quiere decir “intercambiar las Filas i y j”.
4. A → B indica que las matrices aumentadas A y B son equivalentes; es decir, que los sistemas que representan tienen la misma solución.
La matriz aumentada llevada a una forma diagonal mediante operaciones elementales, se tiene:
La cual equivale al sistema:
Que tiene solución:
La diferencia entre este método y el método de Gauss es que este método lo estamos aplicando directamente a una matriz a diferencia de aplicarlo al sistema de ecuaciones y obtenemos una sistema escalonado. El método de Gauss-Jordan finaliza cuando encontramos la matriz escalonada reducida.
El beneficio de realizar el método de Gauss Jordan es que para una matriz de un grado muy grande nos permite realizar los cómputos de una manera simple y aunque puede ser largo solo usaremos tres operaciones elementales.
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