viernes, 2 de marzo de 2018

Presentación sistemas numéricos.

Un sistema numérico es un conjunto de símbolos y reglas que en permiten formar todos los números válidos. Los símbolos del sistema de numeración varían según la época y cultura, en nuestro caso nosotros usamos por convención los números denominados arábigos, por su origen en la cultura árabe y como regla de formación usamos la notación posicional de los símbolos.

como vemos hay diferentes sistemas de numeración, el romano, el maya, el egipcio, etc.

Nosotros vamos a estudiar en nuestro caso los sistemas de numeración posicional en el cual el numero de símbolos permitidos se llama base denominada con la letra b,  y significa que disponemos de tantos símbolos como b unidades haya, y para aumentar a un orden superior se necesitan así mismo, b unidades. 

Veamos qué nos permite formar los números que usamos diariamente: 





con esta representación, las operaciones aritméticas son más sencillas y directas.


ejemplos: 

sistema binario: 

es el sistema que llamamos base 2, y solo consta de dos simbolos 1 y 0, debido a esto es el más usado en la computación y la electronica pues se pueden tener dos estados lógicos, de encendido y apagado con lo cual se pueden comunicar las ordenes a a máquina.




sistema decimal:

es el sistema base 10 y todos lo utilizamos constantemente por la facilidad de llevar nuestras cuentas en las manos, pues consta de los símbolos {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};  es decir si base 2 es el sistema de numeración de las maquinas, entonces base 10 es por excelencia el sistema de numeración de los humanos.




















Por ejemplo esta es la representación decimal del numero 1492,36


1*10^3 + 4*10^2 +9*10^1 + 2*10^0 + 3*10^(-1) + 6*10^(-2)




otros sistemas de numeración: 

sistema Octal:

Este sistema de numeración consta de ocho simbolos {0,1,2,3,4,5,6,7} En informatica a veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexagecimal, se suele indicar poniendo 0x delante del numero octal.
   para convertir el numero octal 3452,32 a numero decimal tenemos que:

3*83 + 4*82 + 5*81 + 2*80 + 3*8-1 + 2*8-2 =

 3*512 +4*64+ 40 + 2 + 3*0,125 + 2*0,015625 =

 1834 + 0,40625 =

 1834,40625



 Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros simbolos diferentes de los digitos como el que veremos a continuación.


sistema hexagesimal: 

El sistema numérico hexadecimal o sistema hexadecimal (a veces abreviado como Hex, no confundir con sistema sexagesimal) es un sistema de numeración que emplea 16 símbolos. Su uso actual está muy vinculado a la informática y ciencias de la computación, pues los computadores suelen utilizar el byte u octeto como unidad básica de memoria; y, debido a que un byte representa  valores posibles, y esto puede representarse como
que, según el teorema general de la numeración posicional, equivale al número en base 16 , dos dígitos hexadecimales corresponden exactamente —permiten representar la misma línea de enteros— a un byte.
En principio, dado que el sistema usual de numeración es de base decimal y, por ello, sólo se dispone de diez dígitos, se adoptó la convención de usar las seis primeras letras del alfabeto latino para suplir los dígitos que nos faltan. El conjunto de símbolos sería, por tanto, el siguiente:
Se debe notar que A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15. En ocasiones se emplean letras minúsculas en lugar de mayúsculas. Como en cualquier sistema de numeración posicional, el valor numérico de cada dígito es alterado dependiendo de su posición en la cadena de dígitos, quedando multiplicado por una cierta potencia de la base del sistema, que en este caso es 16. Por ejemplo: 3E0A16 = 3×163 + E×162 + 0×161 + A×160 = 3×4096 + 14×256 + 0×16 + 10×1 = 15882.
El sistema hexadecimal actual fue introducido en el ámbito de la computación por primera vez por IBM en 1963. Una representación anterior, con 0–9 y u–z, fue usada en 1956 por la computadora Bendix G-15.

Tabla de conversiones a los sistemas de numeración expuestos.





Conversiones: 




Decimal a binario, octal y hexadecimal

Para convertir un numero decimal a uno binario, debemos hacer divisiones sucesivas de los cocientes por la base a la que vamos a convertir, en el siguiente ejemplo sera 2.


video como convertir decimal a binario.


Si el numero tuviera cifras decimales y por ejemplo fuera 100,3125 entonces procederemos como sigue: como ya hemos convertido la parte entera a binario nos proponemos a convertir la cifra racional del numero es decir 0,3125 luego tomamos este y lo multiplicamos sucesivamente por la base que a la que vamos a convertir, luego tomamos la parte entera que estará entre 0 y b, en el ejemplo la base es 2.




Convertir binario, octal, hexadecimal a decimal: 



Para convertir un numero binario, octal o hexadecimal en un numero decimal nos bastará con multiplicar los dígitos posicionales por la respectiva potencia de la base en la cual se encuentra y luego sumar todas las posiciones.

Efectivamente se hace lo mismo con los otros sistemas de numeración en una clara aplicación directa del teorema fundamental de la numeración.


Video como convertir binario a decimal
   


Video Convertir Binario a Decimal.



convertir octal - hexadecimal

octal - hexadecimal:  

Tomamos nuestro numero octal y lo separamos en cifras, luego estas cifras las convertimos a binario cada una de ellas a un numero binario de 3 cifras pues para contar de 0 a 7 se necesita desde 000 hasta 111, luego este numero binario lo dividimos en paquetes de 4 cifras binarias de izquierda a derecha, esto es porque para poder contar de 0 a 15 necesitamos tener  de 0000 hasta 1111. Cuando tengamos organizados nuestros paquetes de 4 cifras binarias si alguno queda faltandole cifras, se le agregan ceros. Luego convertimos los números binarios de 4 cifras a hexadecimal.



Hexadecimal - Octal

Es el proceso inverso de la conversion anterior, primero se pasa cada cifra hexadecimal a su correspondiente numero binario de 4 cifras, luego se agrupan estas cifras binarias empezando de izquierda a derecha o desde el punto decimal a  cada lado, de a tres cifras para poder contar de 0 a 7.
luego convertimos cada tripleta a su respectiva cifra octal.



Aplicaciones: 

sistema decimal se usa cotidianamente para realizar nuestros cálculos humanos.
sistema binario se usa para realizar algoritmos aritmético-lógicos, ademas en electronica digital se usa en programación de compuertas también podemos ver sus usos en la resolución de problemas matemáticos de tipo estar o no estar, etc
sistema octal es usado en la aritmética del trabajo con bytes, aunque es mucho mas cómoda la aritmética hexadecimal.
sistema hexadecimal es el mas usado en computación a partir de 1963 por IBM.  Ademas es más ventajoso pues se simplifica la escritura de números decimales, ya que cada 4 cifras binarias representan una cifra hexadecimal, así mismo permite que los números binarios puedan ser mas  compactos con lo cual se evita errores de calculo con números binarios demasiado grandes.


Materia interactivo de repaso: 



Ejercicios: 



Aplicaciones a la lógica del sistema de numeración binario: 

Como lo mencionamos anteriormente los estados de encendido y apagado permiten a los ingenieros la digitalización de señales análogas una aplicación muy importante junto con los transistores han resuelto grandes necesidades computacionales, cálculos sobre el medio ambiente, la música, y en general las interacciones de la maquina con el ambiente. 





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